17871. Точки X
и Y
— середины диагоналей соответственно AC
и BC
выпуклого четырёхугольника ABCD
, а прямые, проходящие через точки X
и Y
параллельно BD
и AC
соответственно, пересекаются в точке O
. Точки P
, Q
, R
, S
— середины AB
, BC
CD
и DA
соответственно. Докажите, что:
а) четырёхугольники APOS
и APXS
равновелики;
б) четырёхугольники APOS
, BQOP
, CROQ
и DSOR
равновелики.
Решение. а) Поскольку OX\parallel PS
по условию и SP\parallel BD
как средняя линия треугольника ABD
, то треугольники PXO
и SXO
равновелики. Пусть E
— точка пересечения SO
и PX
. Тогда треугольники PEO
и SEX
равновелики.
S_{APOS}=S_{\triangle APS}+{\triangle EPS}+S_{\triangle PEO}=+{\triangle EPS}+S_{\triangle SEX}=S_{APXS}.
Что и требовалось доказать.
б) Поскольку XP
— медиана треугольника AXB
, а BX
— медиана треугольника ABC
, то
S_{\triangle AXP}=\frac{1}{2}S_{\triangle AXB}=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}S_{\triangle APS}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC},
S_{\triangle AXS}=\frac{1}{2}S_{\triangle ADC}.
S_{APXC}=S_{\triangle AXP}+S_{\triangle AXS}=\frac{1}{4}(S_{\triangle ABC}+S_{\triangle ADC})=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
Аналогично докажем, что каждая из площадей четырёхугольников BQOP
, CROQ
и DSOR
равна четверти площади четырёхугольника ABCD
, а так как из пункта а) следует, что
S_{APOS}=\frac{1}{4}S_{ABCD}.
то все четырёхугольники APOS
, BQOP
, CROQ
и DSOR
равновелики. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2004, задача 5