17872. Точка D
— середина стороны BC
треугольника ABC
. Найдите \angle BAD
, если \angle ADB=45^{\circ}
и \angle ACD=30^{\circ}
.
Ответ. 30^{\circ}
.
Решение. Проведём высоту BL
треугольника ABC
. Тогда катет LB
прямоугольного треугольника BLC
, лежащий против угла 30^{\circ}
, равен половине гипотенузы BC
, т. е. LD=\frac{1}{2}BC=BD
. В равнобедренном треугольнике BDL
угол DBL
равен 60^{\circ}
, значит, треугольник BDL
равносторонний, поэтому LD=LB
. Кроме того,
\angle BDL=60^{\circ}~\Rightarrow~ADL=60^{\circ}-45^{\circ}=15^{\circ}=\angle LAD.
Значит, треугольник ADL
равнобедренный, LA=LD
. Таким образом, LA=LD=LB
. Следовательно, Тогда A
, B
и D
лежат на окружности с центром L
.
Вписанный в эту окружность угол BAD
вдвое меньше центрального угла BLD
, т. е.
\angle BAD=\frac{1}{2}\angle BLD=30^{\circ}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2005, задача 5