17874. Трапеция ABCD
с основаниями AB
и CD
вписана в окружность с центром O
. Диагонали трапеции пересекаются в точке M
, а OM=2
. Найдите разность параллельных сторон трапеции, если:
а) \angle AMB=60^{\circ}
;
б) \angle AMD=60^{\circ}
.
Ответ. а) 2\sqrt{3}
; б) 2\sqrt{3}
.
Решение. а) Если \angle AMB=60^{\circ}
(рис. 1), то треугольники AMB
и CMD
равносторонние. Опустим перпендикуляр OK
из центра окружности на диагональ BD
трапеции. Поскольку MO
— биссектриса угла AMB
, получаем
\angle MKO=30^{\circ},~OK=\frac{1}{2}OM=1,~ML=\sqrt{4-1}=\sqrt{3}.
Следовательно,
AB-CD=BM-MD=(BK+KM)-(DK-KM)=2KM=2\sqrt{3}.
б) Если \angle AMD=60^{\circ}
(рис. 2), то \angle AMB=120^{\circ}
. Пусть прямая, проведённая через точку O
параллельно AC
, пересекает диагональ BD
и основание AB
трапеции в точках P
и Q
соответственно. Поскольку MO
— биссектриса угла AMB
, получаем
\angle OPM=\angle OMP=60^{\circ},
поэтому треугольник OMP
равносторонний. Значит, диаметр окружности, перпендикулярный BD
, проходит как через середину BD
, так и через середину MP
. Тогда DM=PB
. Треугольники DMC
и BPQ
равны по стороне (BP=MD
) и двум прилежащим к ней углам, поэтому DC=BQ
. Значит,
AB-DC=AQ.
Пусть прямая, проведённая через точку P
параллельно AB
, пересекает диагональ AC
трапеции в точке Q
. Тогда AKPQ
— параллелограмм, поэтому AQ=KP
, а так как отрезок KP
вдвое больше высоты равностороннего треугольника OMP
со стороной OM=2
. Следовательно,
AQ=KP=2\cdot2\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2007, задача 5