17875. Точки D
и F
— середины сторон соответственно BC
и AB
остроугольного треугольника ABC
. Прямая, проходящая через точку F
перпендикулярно AC
, и прямая, проходящая через точку B
перпендикулярно BC
, пересекаются в точке N
. Докажите, что отрезок ND
равен радиусу описанной окружности треугольника ABC
.
Решение. Пусть O
— центр описанной окружности \Omega
треугольника ABC
. Докажем, что BDON
— прямоугольник.
Поскольку
\angle NBC=\angle NKC=90^{\circ},
четырёхугольник BCKN
вписанный, поэтому
\angle KNB=180^{\circ}-\angle BCA.
В то же время, центральный угол AOM
окружности \Omega
вдвое больше соответствующего вписанного угла ACB
, а так как OF
— высота и медиана треугольника AOB
, то OF
— биссектриса угла AOB
. Следовательно, \angle BOF=\angle ACB
. Тогда
\angle FNB+\angle BOF=\angle KNB+\angle BCK=180^{\circ}.
Значит, точки B
, O
, F
и N
лежат на одной окружности, поэтому
\angle BNO=\angle BFO=90^{\circ}.
Таким образом все четыре угла четырёхугольника BDON
прямые. Значит, BDON
— прямоугольник. Его диагональ ND
равна диагонали OB
, т. е. радиусу окружности \Omega
.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2008, задача 1