17876. Дан треугольник ABC
, в котором AB=AC
и BC=AB+AI
, где I
— центр вписанной окружности. Найдите \angle BAC
.
Ответ. 90^{\circ}
.
Решение. Обозначим \angle ABC=\angle ACB=\beta
. Тогда (см. задачу 4770)
\angle AIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle ABC=90^{\circ}+\frac{\beta}{2}.
На продолжении стороны AC
за точку A
отложим отрезок AD=AI
. Тогда
CD=AC+AD=AB+AI=BC.
Значит, треугольник BCD
равнобедренный с основанием BD
, поэтому
\angle CDB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\beta)=90^{\circ}-\frac{\beta}{2}.
Тогда
\angle AIB+\angle ADB=\left(90^{\circ}+\frac{\beta}{2}\right)+\left(90^{\circ}-\frac{\beta}{2}\right)=180^{\circ}.
Значит, ADBI
— вписанный четырёхугольник, поэтому
\angle ADI=\angle ABI=\frac{\beta}{2}.
Поскольку AD=AI
, получаем
\angle DAI=180^{\circ}-2\angle ADI=180^{\circ}-\beta.
Тогда по теореме о внешнем угле треугольника
\angle CAI=2\angle ADI=\beta~\Rightarrow~\angle BAC=2\beta.
Сумма углов треугольника ABC
равна 180^{\circ}
, т. е.
\beta+\beta+2\beta=180^{\circ}~\Rightarrow~\beta=45^{\circ}.
Следовательно,
\angle BAC=2\beta=90^{\circ}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2009, задача 1