17877. Дан выпуклый четырёхугольник ABCDEF
. Его диагонали AD
, BE
и CF
пересекаются в точке O
. Площадь треугольника AOF
равна среднему геометрическому площадей треугольников AOB
и EOF
, а площадь треугольника BOC
равна среднему геометрическому площадей треугольников AOB
и COD
. Докажите, что площадь треугольника DOE
равна среднему геометрическому площадей треугольников COD
и EOF
.
Решение. Обозначим OA=a
, OB=b
, OC=c
, OD=d
, OE=e
, OF=f
, S_{\triangle AOB}=x
, S_{\triangle COD}=y
, S_{\triangle EOF}=z
, S_{\triangle DOE}=u
, S_{\triangle AOF}=v
и S_{\triangle BOC}=w
. Из равенств v^{2}=zx
и w^{2}=xy
нужно вывести равенство u^{2}=yz
.
Поскольку \angle AOB=\angle DOE
получаем
\frac{u}{x}=\frac{\frac{1}{2}de\sin\angle DOE}{\frac{1}{2}ab\sin\angle AOB}=\frac{de}{ab}.
Аналогично,
\frac{v}{y}=\frac{fa}{cd}~\mbox{и}~\frac{w}{z}=\frac{bc}{ef}.
Перемножив эти равенства, получим
uvw=xyz~\Rightarrow~x^{2}y^{2}z^{2}=u^{2}v^{2}w^{2}=u^{2}(zx)(xy).
Следовательно, u^{2}=yz
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2010, задача 1