17878. Точки D
, E
и F
на сторонах соответственно BC
, CA
и AB
треугольника ABC
, причём отрезки AD
, BE
и CD
пересекаются в одной точке. Докажите, что если \frac{BD}{DC}=\frac{BF}{FA}
и \angle ADB=\angle ADB=\angle AFC
, то \angle ABE=\angle CAD
.
Решение. Поскольку \frac{BD}{DC}=\frac{BF}{BA}
, прямые DF
и CA
параллельны. Кроме того,
\angle BDK=\angle ADB=\angle AFC=180^{\circ}-\angle BFK,
поэтому четырёхугольник BDKF
вписанный. Тогда \angle FBK=\angle FDK
, как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, учитывая параллельность FD
и AC
, получаем
\angle ABE=\angle FBK=\angle FDK=\angle FDA=\angle CAD.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2011, задача 1