17879. Пусть BB_{1}
и CC_{1}
— биссектрисы треугольника ABC
, точки E
и F
— проекции точки A
на прямые BB_{1}
и CC_{1}
соответственно, а D
— точка касания вписанной окружности треугольника ABC
со стороной AB
. Докажите, что AD=EF
.
Решение. Пусть I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Обозначим \angle BAC=\alpha
.
Из точек D
, F
и E
отрезок AI
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AI
. При этом
\angle FIE=\angle CIB=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle BAC=90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}
(см. задачу 4770). Четырёхугольник AFIE
вписанный, поэтому
\angle FAE=180^{\circ}-\angle FIE=180^{\circ}-\left(90^{\circ}+\frac{\alpha}{2}\right)=90^{\circ}-\frac{\alpha}{2}=\angle AID.
Равные вписанные углы AID
и FAE
опираются на равные хорды. Следовательно, EF=AD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2011, задача 5