17882. Дан равнобедренный прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине A
. Точки D
и E
лежат на гипотенузе BC
, причём BD:DE:EC=3:5:4
. Докажите, что \angle DAE=45^{\circ}
.
Решение. Без ограничения общности будем считать, что BD=3
, DE=5
и EC=4
. Пусть при повороте на 90^{\circ}
вокруг точки A
, переводящем точку B
в C
, точка D
переходит P
. Тогда PE=ED
и
\angle ACP=\angle ABC=45^{\circ},
поэтому ECP
— прямоугольный треугольник с катетами CE=4
, CP=3
и гипотенузой EP=5
. Тогда PE=DE
. Значит, точки A
и E
лежат на серединном перпендикуляре к отрезку AE
, а AE
— биссектриса угла DAP
, равного 90^{\circ}
. Следовательно,
\angle DAE=\frac{1}{2}\angle DAP=\frac{1}{2}\cdot90^{\circ}=45^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2013, задача 5