17885. Точка H
— ортоцентр остроугольного треугольника ABC
, P
— точка, симметричная вершине A
относительно прямой BC
. Описанная окружность треугольника ABP
вторично пересекает прямую BH
в точке Q
, а описанная окружность треугольника ACP
вторично пересекает прямую CH
в точке Q
. Докажите, что H
— центр вписанной окружности треугольника PQR
.
Решение. Поскольку RACP
— вписанный четырёхугольник, то
\angle RPA=\angle RCA=90^{\circ}-\angle BAC.
Аналогично,
\angle QPA=\angle QBA=90^{\circ}-\angle BAC.
Значит, PH
— биссектриса угла RPQ
.
Докажем, что точки R
, A
и Q
лежат на одной прямой. Действительно, из симметрии \angle BPC=\angle BAC
, а так как \angle BHC=180^{\circ}-\angle BAC
, то BHCP
— вписанный четырёхугольник, следовательно,
\angle RAP+\angle QAP=\angle RCP+\angle QBP=180^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Далее получаем
\angle QRC=\angle ARC=\angle APC=\angle PAC=\angle PRC.
Значит, RC
— биссектриса угла PQR
.
Следовательно, RC
— биссектриса угла PRQ
, а H
— центр вписанной окружности треугольника PQR
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2013, часть 4, задача 5