17886. Точки D
и E
лежат на сторонах соответственно BC
и AC
треугольника ABC
, причём BD=2DC
и AE=4EC
. Точка P
лежит на прямой ED
, причём D
— середина отрезка EP
. Прямые AP
и BC
пересекаются в точке S
. Найдите отношение \frac{BS}{SD}
.
Ответ. \frac{7}{2}
.
Решение. Отметим на отрезке AE
его середину F
. Тогда FD
— средняя линия треугольника AEP
, поэтому FD\parallel AP
. По теореме о пропорциональных отрезках
\frac{CD}{SD}=\frac{CF}{FA}=\frac{3}{2}.
В то же время,
DC=\frac{1}{3}BD=\frac{1}{3}(BS+SD).
Разделив это равенство на SD
и учитывая, что \frac{CD}{SD}=\frac{3}{2}
получим
\frac{3}{2}=\frac{1}{3}\left(\frac{BS}{BD}+\frac{1}{3}\right),
откуда находим, что
\frac{BS}{BD}=3\left(\frac{3}{2}-\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{2}.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2013, часть 4, задача 4