17887. Точки K
, L
и M
лежат на высоте AD
треугольника ABC
, причём AK=KL=LM=MD
. Через точки K
, L
и M
проведены прямые, параллельные BC
(см. рис.). Докажите, что если сумма площадей закрашенных образовавшихся частей равна сумме площадей оставшихся, то BD=DC
.
Решение. Пусть BD=4x
, DC=4y
и AD=4h
. Тогда сумма площадей закрашенных частей треугольника ABC
равна
\frac{1}{2}h(x+(y+2y)+(2x+3x)+(3y+4y)=\frac{h(6x+10y)}{2},
Тогда сумма площадей оставшихся частей частей равна
\frac{1}{2}h(y+(x+2x)+(2y+3y)+(3x+4x)=\frac{h(6x+10x)}{2}.
Из условия следует, что
6x+10y=10x+6y~\Rightarrow~x=y~\Rightarrow~BD=DC.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 1