17888. В треугольнике ABC
угол при вершине B
наибольший. Серединные перпендикуляры к сторонам BC
и AB
пересекают прямую AC
в точках X
и Y
соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника ABC
совпадает с центром вписанной окружности треугольника BXY
.
Решение. Пусть D
и E
— середины сторон BC
и AB
соответственно. Точка X
лежит на серединном перпендикуляре к стороне BC
, поэтому XB=XC
. Треугольник BXC
равнобедренный, поэтому его высота XD
является биссектрисой. Аналогично, YE
— биссектриса треугольника AYB
. Таким образом, лучи XD
и YE
пересекаются в точке I
пересечения биссектрис треугольника BXY
.
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника ABC
пересекаются в центре O
описанной окружности треугольника ABC
. Следовательно, точка O
совпадает с I
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 1