17890. Около треугольника ABC
с наибольшим углом при вершине B
описана окружность \Gamma
с центром R
. Описанная окружность \Omega
треугольника ARB
пересекает сторону AC
в точке X
, отличной от A
. Докажите, что RX\perp BC
.
Решение. Пусть прямые XR
и BC
пересекаются в точке E
. Докажем, что \angle XEC=90^{\circ}
.
Вписанные в окружность \Omega
углы AXB
и ARB
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle AXB=\angle ARB=2\angle ACB
(центральный угол ARB
окружности \Gamma
вдвое больше соответствующего вписанного в эту окружность угла ACB
).
Вписанные в окружность \Omega
углы BXR
и BAR
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle BXR=\angle BAR=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ARB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle ARB=90^{\circ}-\angle ACB.
Значит,
\angle EXC=180^{\circ}-\angle AXR=180^{\circ}-\angle AXB-\angle BXR=
=180^{\circ}-2\angle ACB-(90^{\circ}-\angle ACB)=90^{\circ}-\angle ACB.
Следовательно,
\angle XEC=180^{\circ}-\angle ECX-\angle EXC=180^{\circ}-\angle ACB-(90^{\circ}-\angle ACB)=90^{\circ}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 1