17892. Докажите, что высота описанной равнобедренной трапеции равна среднему геометрическому оснований.
Решение. Пусть AB
и CD
основания описанной равнобедренной трапеции ABCD
, F
— точка касания вписанной окружности трапеции с боковой стороной AD
, а P
и Q
— точки касания с основаниями CD
и AB
соответственно, O
— центр окружности, r
— её радиус.
Заметим, что диаметр PQ
вписанной окружности — высота трапеции, а OE=r
— высота прямоугольного треугольника AOD
, проведённая из вершины прямого угла. Следовательно (см. задачу 656),
PQ=2r=2\sqrt{AF\cdot AF}=2\sqrt{AQ\cdot DP}=2\sqrt{\frac{1}{2}AB\cdot\frac{1}{2}CD}=\sqrt{AB\cdot CD}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2014, задача 1