17896. Диагонали AC
и BD
вписанного четырёхугольника ABCD
пересекаются в точке X
. Описанные окружности треугольников AXD
и BXD
вторично пересекаются в точке Y
. Известно, что X
— центр вписанной окружности треугольника ABY
. Докажите, что \angle CAD=90^{\circ}
.
Указание. Докажите, что точки C
, D
и Y
лежат на одной прямой.
Решение. Поскольку X
— точка пересечения биссектрис треугольника ABY
, получаем, что \angle BAX=\angle XAY
. Тогда
\angle BDC=\angle BAC=\angle BAX=\angle XAY=\angle XDY=\angle BDY,
поэтому точки C
, D
и Y
лежат на одной прямой. Значит,
\angle CYX+\angle XYD=180^{\circ}.\eqno(1)
Из вписанности четырёхугольников BCYX
и AXYD
и равенства углов CBD
и CAD
получаем, что левая часть равенства (1) равна
(180^{\circ}-\angle CBD)+(180^{\circ}-\angle CAD)=360^{\circ}-2\angle CAD.
Тогда
360^{\circ}-2\angle CAD=180^{\circ}.
Следовательно, \angle CAD=90^{\circ}
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 6