17897. Окружности \Gamma
и \Sigma
пересекаются в точках A
и B
, причём центр \Sigma
лежит на \Gamma
. Точки C
и D
, лежат на окружностях \Gamma
и \Sigma
соответственно, причём точки C
, B
и D
лежат на одной прямой. Через точку D
проведена хорда DE
окружности \Sigma
, параллельная AC
. Докажите, что AE=AB
.
Указание. Докажите равенство углов BEA
и ABE
.
Решение. Пусть O
— центр окружности \Sigma
. Вписанный в эту окружность угол AEB
равен половине центрального угла AOB
, а четырёхугольник AOBC
вписан в окружность \Gamma
, поэтому
\angle BEA=\frac{1}{2}\angle AOB=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle ACB)=\frac{1}{2}\angle EDB=
=\frac{1}{2}(180^{\circ}-\angle EAB)=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EAB.
Сумма углов треугольника ABE
равна 180^{\circ}
, поэтому
\angle ABE=180^{\circ}-\angle BEA-\angle BAE=
=180^{\circ}-\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EAB\right)-\angle EAB=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle EAB.
Значит, треугольник ABE
равнобедренный с основанием BE
. Следовательно, AE=AB
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 5