17898. Даны окружности \Gamma
и \Sigma
с центрами O
и O'
соответственно, причём точка O'
лежит на окружности \Gamma
. Точки A
и B
лежат на окружности \Sigma
, точка M
— середина отрезка O'A
, а AB\parallel OM
. Докажите, что середина отрезка AB
лежит на окружности \Gamma
.
Указание. Проведите диаметр O'C
и докажите, что точки A
, B
и C
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть C
— точка окружности \Gamma
, диаметрально противоположная точке O'
. Тогда MO
— средняя линия треугольника A'C
, поэтому AC\parallel OM
, а так как по условию AB\parallel OM
, то точки A
, B
и C
лежат на одной прямой.
Пусть прямая AC
вторично пересекает окружность \Gamma
в точке N
. Тогда \angle O'NC=90^{\circ}
. Значит (см. задачу 1676), N
— середина хорды AB
окружности \Sigma
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1