17899. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
, точка B'
симметрична вершине B
относительно прямой l
, на которой лежит биссектриса угла BAC
. Докажите, что центр описанной окружности треугольника CB'I
лежит на прямой l
.
Указание. Примените теорему о трилистнике (см. задачу 788).
Решение. Пусть прямая l
вторично пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке E
. Тогда по теореме о трилистнике (см. задачу 788) EC=EI=EB
, а из симметрии EB'=EB
. Значит, EB'=EC=EI
. Следовательно, точка E
— центр описанной окружности треугольника CB'I
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1