1790. Две окружности радиусов r
и R
(r\lt R
) пересекаются. Докажите, что расстояние между их центрами меньше, чем r+R
, но больше, чем R-r
.
Указание. Воспользуйтесь неравенством треугольника.
Решение. Пусть O_{1}
и O_{2}
— центры окружностей радиусов r
и R
соответственно, A
— одна из двух точек их пересечения. Для треугольника O_{1}AO_{2}
верны неравенства
O_{1}O_{2}\lt O_{1}A+O_{2}A,~AO_{2}\lt O_{1}A+O_{1}O_{2},
или
O_{1}O_{2}\lt r+R,~O_{1}O_{2}\gt AO_{2}-AO_{1}=R-r.