17900. Окружности \Gamma
и \Sigma
пересекаются в различных точках A
и B
. Прямая, проходящая через точку B
, вторично пересекает окружности \Gamma
и \Sigma
в точках C
и D
соответственно, причём CA=CD
. Докажите, что центр окружности \Sigma
лежит на окружности \Gamma
.
Указание. Через точку C
проведите прямую, перпендикулярную AD
.
Решение. Пусть прямая, проведённая через точку C
перпендикулярно AD
, вторично пересекает окружность \Gamma
в точке O
. Значит, эта прямая — серединный перпендикуляр к отрезку AD
, поэтому OA=OD
. Кроме того, эта прямая содержит биссектрису угла ACD
, поэтому OA=OB
. Следовательно, OD=OA=OB
, т. е. точка O
лежащая на окружности \Gamma
— центр окружности \Sigma
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1