17901. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD
со сторонами AB=a
, BC=b
, CD=c
и DA=d
. Известно, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=ab+bc+cd+da,
площадь четырёхугольника ABCD
равна 60, а одна из диагоналей равна 30. Найдите вторую диагональ.
Ответ. 4.
Указание. Докажите, что ABCD
— ромб.
Решение. Заметим, что
a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}=ab+bc+cd+da\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2a^{2}+2b^{2}+2c^{2}+2d^{2}=2ab+2bc+2cd+2da\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(c-d)^{2}+(d-a)^{2}=0\Leftrightarrow~a=b=c=d.
Значит, ABCD
— ромб. Пусть его диагонали равны d_{1}
и d_{2}
, причём d_{1}=30
. Тогда
60=S_{ABCD}=\frac{1}{2}d_{1}d_{2}=\frac{1}{2}\cdot30\cdot d_{2}=15d_{2}.
Следовательно, d_{2}=4
.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1