17902. Дан прямоугольный треугольник ABC
с прямым углом при вершине B
. Прямая, проходящая через центр I
вписанной окружности треугольника ABC
перпендикулярно AI
, пересекает прямую прямую BC
в точке D
. Известно, что BC=a
и CA=b
. Докажите, что CI\perp AD
и ID=\sqrt{b(b-a)}
.
Указание. Треугольник ACD
равнобедренный.
Решение. Из точек B
и I
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Тогда
\angle ADI=\angle ABI=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle DAI=45^{\circ}.
Заметим, что
\angle ADB=\angle ADI+\angle IDB=45^{\circ}+\angle IAB=\angle DAI+\angle IAC=\angle DAC.
Значит, треугольник ACD
равнобедренный, CD=CA
. Тогда биссектриса CI
его угла ACD
перпендикулярна основанию AD
. Что и требовалось доказать.
Кроме того,
DB=CD-BC=CA-BC=b-a.
Обозначим AB=c
. Тогда по теореме Пифагора
AD^{2}=AB^{2}+DB^{2}=c^{2}+(b-a)^{2}=c^{2}+(b^{2}+a^{2}-2ab)=
=(b^{2}-a^{2})+b^{2}+a^{2}-2ab=2b^{2}-2ab=2b(b-a).
Следовательно, из равнобедренного прямоугольника AID
получаем
ID=\frac{AD}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2b(b-a)}}{\sqrt{2}}=\sqrt{b(b-a)}.
Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1