17904. Точка I
— центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине B
. Луч AI
пересекает катет BC
в точке F
, а прямая, проходящая через точку I
перпендикулярно AI
, пересекает гипотенузу AC
в точке E
. Докажите, что IE=IF
.
Указание. Докажите равенство треугольников AID
и DIF
.
Решение. Пусть D
— точка пересечения прямых EI
и BC
. Из точек B
и I
отрезок AD
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AD
. Тогда
\angle ADI=\angle ABI=45^{\circ}~\Rightarrow~IA=ID.
Поскольку
\angle IAE=\angle IAB=\angle IDB,
прямоугольные треугольники AIE
и DIF
равны по катету (IA=ID
) и прилежащему острому углу. Следовательно, IE=IF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2015, задача 1