17907. Дан равнобедренный треугольник ABC
, AB=AC
. Точка O
— центр его описанной окружности \Gamma
. Луч CO
пересекает \Gamma
в точке D
. Прямая, проведённая через точку D
параллельно стороне AC
, пересекает сторону BC
в точке E
, причём AE:BE=2:1
. Докажите, что треугольник ABC
равносторонний.
Указание. Докажите, что треугольник BED
равнобедренный.
Решение. Пусть луч DE
пересекает сторону BC
в точке F
. Обозначим \angle ACB=\angle ABC=\beta
. Тогда CBD
и CAD
— прямоугольные треугольники с прямыми углами при вершинах B
и A
соответственно, поэтому
\angle BDF=90^{\circ}-\angle BFD=90^{\circ}-\beta=\angle DBF.
Значит, треугольник BED
равнобедренный, DE=BE
, поэтому DE:AE=BE:AE=1:2
. Из параллельности DE
и AC
получаем, что \angle ADE=90^{\circ}
. Тогда в прямоугольном треугольнике ADE
катет DE
, лежащий против угла DAE
, вдвое меньше гипотенузы. Значит,\angle DAE=30^{\circ}
. Значит,
\angle BAC=\angle DAC-\angle DAB=\angle DAE=90^{\circ}-30^{\circ}=60^{\circ}.
Таким образом, один из углов равнобедренного ABC
равен 60^{\circ}
. Следовательно, этот треугольник равносторонний. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2016, задача 1