17911. На стороне BC
остроугольного треугольника ABC
отмечена точка D
, отличная от B
и C
. Описанная окружность треугольника ACD
пересекает сторону AB
в точке E
, а описанная окружность треугольника ABD
пересекает сторону AC
в точке F
. Точка O
— центр описанной окружности треугольника AEF
. Докажите, что OD
— биссектриса угла EDF
.
Указание. Докажите, что четырёхугольник OEDF
вписанный.
Решение. Поскольку четырёхугольник ACDE
вписанный, получаем
\angle BDE=180^{\circ}-\angle EDF=\angle EAC=\angle BAC.
Аналогично, четырёхугольник ABDF
вписанный, поэтому \angle CDF=\angle BAC
.
Кроме того, поскольку O
— центр описанной окружности треугольника AEF
, а угол EAF
острый (поэтому точки O
и D
лежат по разные стороны от прямой EF
), то
\angle EDF=180^{\circ}-\angle BDE-\angle CDF=180^{\circ}-2\angle EAF=180^{\circ}-2\angle BAC,
поэтому \angle DEF=2\angle ABC
. Значит, четырёхугольник EOFD
тоже вписанный, а так как OE=OF
, то \angle OEF=\angle OFE
. Тогда
\angle ODE=\angle OFE=\angle OEF=\angle OGF.
Следовательно, OD
— биссектриса угла EDF
. Что и требовалось доказать.
Источник: Индийские математические олимпиады. — 2018, задача 1