17915. Точка P
лежит внутри треугольника ABC
, а D
, E
и F
— точки пересечения прямой AP
со сторонами BC
, CA
и AB
соответственно. Известно, что площади треугольников PFA
, PDB
и PEC
равны 1. Докажите, что площадь треугольника ABC
равна 6.
Решение. Обозначим S_{\triangle PAB}=x
, S_{\triangle PBC}=y
и S_{\triangle PCA}=x
.
Поскольку высоты треугольников PBC
и ACP
, опущенные на их общую сторону CP
, относятся как площади треугольников PFA
и PFB
, то
\frac{y}{z}=\frac{S_{\triangle BCP}}{S_{\triangle APC}}=\frac{BF}{AF}=\frac{S_{\triangle BPF}}{S_{\triangle APF}}=\frac{x-1}{1}=x-1~~\Rightarrow~z(x-1)=y~\Rightarrow
\Rightarrow~zx=z+y~\Rightarrow~zx+x=z+y+x~\Rightarrow~(z+1)x=x+y+z.
Аналогично получим
(x+1)y=x+y+x,~(y+1)z=x+y+z.
Значит,
(x+1)y=(y+1)z=(z+1)x.
Без ограничения общности будем считать, что x\leqslant y\leqslant z
. Предположим, что y\gt z
. Тогда
y+1\gt z+1~\Rightarrow~(y+1)z\gt(z+1)x
Противоречие. Значит, y=z
. Аналогично, x=z
. Таким образом,
x=y=z~\Rightarrow~\frac{x-1}{1}=\frac{y}{z}=\frac{1}{1}=1~\Rightarrow~x=y=z=2.
Следовательно.
S_{\triangle ABC}=x+y+z=6.
Что и требовалось доказать.
Источник: Азиатско-тихоокеанская математическая олимпиада. — 2012, задача 1