17917. Окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
пересекаются в в точках A
и B
. Точки P
и Q
лежат на окружностях \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
соответственно, причём AP=AQ
. Отрезок PQ
пересекает окружности \Gamma_{1}
и \Gamma_{2}
в точках M
и N
соответственно. Точка C
окружности \Gamma_{1}
— середина дуги BP
, не содержащей точки A
, а точка D
окружности \Gamma_{2}
— середина дуги BQ
, не содержащей точки A
. Отрезки CM
и DN
пересекаются в точке E
. Докажите, что AE\perp CD
.
Решение. Обозначим \angle PAC=\angle MAC=\alpha
, \angle BAD=\angle PAD=\beta
и \angle APQ=\angle AQP=\gamma
. Пусть прямые CM
и AD
пересекаются в точке K
, а прямые DN
и AC
— в точке L
Сумма углов треугольника PAB
равна 180^{\circ}
, т. е.
2\alpha+2\beta+2\gamma=180^{\circ}~\Rightarrow~(\alpha+\beta)+\gamma=90^{\circ},
т. е.
\angle CAK+\angle ACK=\angle CAD+\angle ACM=90^{\circ}.
Значит, \angle AKC=90^{\circ}
, а CK
— высота треугольника ACD
. Аналогично докажем, что DL
— вторая высота этого треугольника. Тогда E
— ортоцентр треугольника ACD
. Следовательно, AE\perp CD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Европейский математический кубок. — 2012, задача 2