17920. Дан остроугольный треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
. Точки X
и Y
лежат на меньшей дуге его описанной окружности, причём BX=XY=YC
. Пусть на отрезке AY
существует точка N
, для которой AB=AN=NC
. Докажите, что прямая CN
проходит через середину отрезка AX
.
Указание. Пусть луч CN
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке T
. Докажите, что ATBX
— равнобедренная трапеция, а ATXN
— параллелограмм.
Решение. Пусть луч CN
пересекает описанную окружность треугольника ABC
в точке T
. Докажем, что ANXT
— параллелограмм. Поскольку диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам, отсюда будет следовать утверждение задачи.
Из равенства хорд BX=XY=YC
получаем равенство углов \angle BAX=\angle XAY=\angle YAC
. Обозначим их через \varphi
. По условию AN=NC
, потому \angle ACT=\varphi
. Равные углы ACT
и CAY
опираются на равные хорды, так как AT=CY
.
Из равенств AB=AN
и \angle BAX=\angle XAY
получаем, что треугольник ANB
равнобедренный, поэтому прямая AX
— серединный перпендикуляр к отрезку BN
. Тогда XB=XN
, а так как BX=CY=AT
, то XN=AT
. Значит, четырёхугольник ATBX
— равнобедренная трапеция, поэтому XT=AB=AN
. Противоположные стороны четырёхугольника ANXT
попарно равны, значит, ANXT
— параллелограмм. Что требовалось доказать.
Источник: Европейский математический кубок. — 2021, задача 2