17921. Дан параллелограмм ABCD
, AB\gt BC
. Точка O
лежит на стороне CD
, причём OB=OD
. Окружность \omega
с центром O
и радиусом OC
вторично пересекает прямую CD
в точке T
. Докажите, что прямые AT
, BO
и окружность \omega
пересекаются в одной точке.
Указание. Пусть продолжение отрезка BO
за точку O
пересекает окружность \omega
в точке R
. Докажите, что точки A
, T
и R
лежат на одной прямой.
Решение. Пусть R
— точка пересечения окружности \omega
и прямой BO
, лежащая на продолжении отрезка BO
за точку O
. Достаточно доказать, что точки A
, T
и R
лежат на одной прямой.
Пусть X
— точка пересечения диагоналей параллелограмма ABCD
. Поскольку X
— середина диагонали AC
, а O
— середина отрезка CT
, то OX
— средняя линия треугольника ACT
, поэтому XO\parallel AT
. Кроме того, X
— середина диагонали BD
, а так как треугольник BOD
равнобедренный, то OX\perp BD
, поэтому OX\perp BD
. Значит, AT\perp BD
.
Обозначим \angle BDO=\angle DBO=\alpha
. Тогда ATD=90^{\circ}-\alpha
. Поскольку DO=BO
, то по теореме о внешнем угле треугольника \angle DOR=2\alpha
, а так как OT=OR
, треугольник TOR
равнобедренный, поэтому
\angle RTO=90^{\circ}-\alpha=\angle ATD.
Значит, точки A
, T
и R
лежат на одной прямой. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Европейский математический кубок. — 2020, задача 1