17922. Дана трапеция с основаниями AB
и CD
. Точка M
— середина стороны AD
. Известно, что \angle MCB=150^{\circ}
, BC=a
, MC=b
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{ab}{2}
.
Указание. Продолжите отрезок CM
до пересечения с продолжением основания AB
.
Решение. Пусть прямые CM
и AB
пересекаются в точке N
. Треугольники MN=
и DMC
равны по стороне AD=DM
и прилежащим к ней углам. Значит,
MN=b~\Rightarrow~CN=CM+MN=2b.
Следовательно,
S_{ABCD}=S_{\triangle DMC}+S_{ABCM}=S_{\triangle AMN}+S_{ABCM}=S_{\triangle BNC}=
=\frac{1}{2}CN\cdot BC\sin150^{\circ}=\frac{1}{2}\cdot2b\cdot a\cdot\frac{1}{2}=\frac{ab}{2}.
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 1999, задача B1