17925. На окружности с центром O
и диаметром AB
отмечены точки A
и C
по одну сторону от прямой AB
. Хорды AC
и BD
пересекаются в точке Q
, причём \angle AQB=2\angle DOC
. Касательные к окружности в точках C
и D
пересекаются в точке P
. Найдите расстояние от точки P
до центра окружности.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{3}}
.
Решение. Пусть O
— центр окружности. По теореме о внешнем угле треугольника
\angle AQB=\angle ACB+\angle CBD=90^{\circ}+\frac{1}{2}\angle COD=\frac{1}{4}\angle AQB,
откуда \angle AQB=120^{\circ}
. Тогда
\angle COD=60^{\circ}~\Rightarrow~\angle OPC=\angle OPB=30^{\circ}.
Следовательно, из прямоугольного треугольника BOP
находим, что
PO=\frac{OC}{\cos\angle COP}=\frac{1}{\cos30^{\circ}}=\frac{2}{\sqrt{3}}.
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2001, задача A2