17926. В остроугольном треугольнике ABC
проведены высоты AD
и BE
. Известно, что
S_{\triangle BDE}\leqslant S_{\triangle DEA}\leqslant S_{\triangle EAB}\leqslant S_{\triangle ABD}.
Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
Указание. Докажите, что ADBE
— равнобедренная трапеция.
Решение. Пусть h_{1}
, h_{2}
, h_{3}
и h_{4}
— высоты треугольников BDE
, DEA
, AEB
и ABD
, опущенные на прямую DE
.
Поскольку S_{\triangle BDE}\leqslant S_{\triangle DEA}
, получаем, что h_{1}\leqslant h_{2}
. Значит, если прямые AB
и DE
пересекаются, то точка пересечения и точка A
лежат по разные стороны от прямой BD
. Поскольку S_{\triangle EAB}\leqslant S_{\triangle ABD}
, получаем, что h_{3}\leqslant h_{4}
. Значит, если прямые AB
и DE
пересекаются, то точка пересечения и точка A
лежат по одну сторону от прямой BD
. Следовательно, h_{1}=h_{2}=h_{3}=h_{4}
. Тогда AB\parallel DE
.
Из точек D
и E
отрезок AB
виден под прямым углом, значит эти точки лежат на окружности с диаметром AB
. Значит, трапеция ADBE
равнобедренная, поэтому
\angle BAC=\angle BAE=\angle BAC=\angle ABD=\angle ABC.
Следовательно, AC=BC
, т. е. треугольник ABC
равнобедренный. Что и требовалось доказать.
Источник: Центральноамериканская математическая олимпиада. — 2002, задача A2