17930. Дан остроугольный треугольник ABC
со стороной AB=1
. Точки A_{0}
и B_{0}
симметричны точкам A
и B
относительно середин отрезков BC
и AC
соответственно. Известно, что что ортоцентры треугольников ABC
, A_{0}BC
и B_{0}AC
образуют равносторонний треугольник.
а) Докажите, что треугольник ABC
равнобедренный.
б) Найдите высоту треугольника ABC
, проведённую из вершины C
.
Решение. а) Пусть H
— ортоцентр треугольника ABC
, а H'
и H''
— ортоцентры треугольников ABC
и A_{0}BC
соответственно. Поскольку треугольники ABC
и A_{0}BC
симметричны относительно точки D
, их ортоцентры H'
и H
также симметричны относительно точки D
, поэтому D
— середина отрезка HH'
. Аналогично, E
— середина HH''
. Тогда DE
— средняя линия треугольника HH'H''
, поэтому треугольник DEH
тоже равносторонний. Значит, точка H
лежит на серединном перпендикуляре l
к отрезку DE
. Прямая l
также перпендикулярна стороне AB
, поскольку DE
является также средней линией треугольника ABC
, а так как CH\perp DE
, прямая CH
совпадает с l
. Следовательно, треугольник ABC
равнобедренный. Что требовалось доказать.
б) Пусть G
— середина отрезка DE
, а CF=h
— высота треугольника ABC
. Теперь известно, что треугольник ABC
равнобедренный, а треугольник DEM
равносторонний. Поскольку треугольник ABC
остроугольный, его ортоцентр H
лежит внутри него, поэтому точка H
лежит между прямыми DE
и AB
.
Поскольку отрезок DE
— средняя линия треугольника ABC
, то CG=\frac{GH}{2}
. Треугольник HED
равносторонний со стороной DE=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}
, поэтому
GH=\frac{DE\sqrt{3}}{2}=\frac{\frac{1}{2}\sqrt{3}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{4}.
Прямоугольные треугольники AFC
и HFA
подобны, поэтому
\frac{AF}{FC}=\frac{HF}{AF}~\Rightarrow~HF=\frac{AF^{2}}{FC}=\frac{\frac{1}{4}}{h}=\frac{1}{4h}.
Тогда
h=CG+CH+HF=\frac{h}{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4h},
или
\frac{h}{2}-\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4h}=0~\Leftrightarrow~2h^{2}-h\sqrt{3}-1=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень этого уравнения, т. е.
CFG=h=\frac{\sqrt{3}+\sqrt{11}}{4}.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2019, региональный этап, задача 4, с. 16 и 50