17932. Дан треугольник ABC
, в котором углы при вершинах A
и B
равны 30^{\circ}
и 50^{\circ}
соответственно, а I
— центр вписанной окружности. Докажите, что AC+CI=AB
.
Решение. Поскольку \angle ACB=100^{\circ}
, а CI
— биссектриса угла ACB
, то \angle BCI=50^{\circ}
. Пусть биссектриса угла BCI
пересекает сторону AB
в точке D
. Тогда
\angle BCD=\frac{1}{2}\angle ABC=25^{\circ},~\angle DCI=\frac{1}{2}\angle ACB=25^{\circ},
Тогда треугольники BCI
и CBD
равны по общей стороне BC
и двум прилежащим к ней углам, поэтому CI=BD
и BD=CI
.
В то же время
\angle ACD=\angle ACI+\angle ICD=50^{\circ}+25^{\circ}=75^{\circ},
а по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=25^{\circ}+50^{\circ}=75^{\circ}.
Значит, треугольник ACD
равнобедренный, AC=AD
. Следовательно,
AB=AD+DB=AC+CI.
Что и требовалось доказать.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2019, региональный этап, задача 2, с. 17 и 65