17934. На отрезке AL
отмечена произвольная точка K
. На отрезках AK
, KL
и AL
как на диаметрах построены полуокружности, расположенные по одну сторону от прямой AL
. Луч с началом A
последовательно пересекает полуокружности в точках B
, C
, D
и E
(см. рис.). Докажите, что BC=DE
.
Решение. Пусть M
— проекция центра O
окружности с диаметром KL
на прямую AE
. Поскольку \angle ABK=\angle AEL=90^{\circ}
, прямые KB
, EL
и OM
параллельны. По теореме Фалеса точка M
— середина отрезка BE
. В то же время, M
— середина BE
(см. задачу 1676). Следовательно,
BC=BM-CM=EM-DM=DE.
Что и требовалось доказать.
Источник: Венгерские математические олимпиады. — 2019, региональный этап, задача 3, с. 23 и 87