17940. Точка I
— центр вписанной окружности треугольника ABC
. Прямая AI
пересекает сторону BC
в точке D
, а серединный перпендикуляр к стороне BC
— в точке E
. Точка J
— центр вписанной окружности треугольника CDE
. Докажите, что треугольник CIJ
равнобедренный.
Указание. Докажите, что четырёхугольник CIDJ
вписанный.
Решение. Серединный перпендикуляр к стороне BC
и биссектриса противолежащего угла BAC
пересекаются на описанной окружности (см. задачу 1743), поэтому точка E
лежит на этой окружности.
Обозначим углы при вершинах A
и C
данного треугольника через \alpha
и \gamma
соответственно. Тогда
\angle EDJ=\frac{1}{2}\angle EDC=\frac{1}{2}\angle ADB=\frac{1}{2}(\angle ACB+\angle CAD)=\frac{1}{2}\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right),
поэтому
\angle JDI=180^{\circ}-\angle EDJ=180^{\circ}-\frac{1}{2}\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)=180^{\circ}-\left(\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{4}\right).
В то же время,
\angle JCI=\angle ICD+\angle DCJ=\angle ICB+\frac{1}{2}\angle ECD=\frac{1}{2}\angle ACB+\frac{1}{2}\angle BAE=\frac{\gamma}{2}+\frac{\alpha}{4}.
Значит,
\angle JDI+\angle JCI=180^{\circ}.
Следовательно, четырёхугольник CIDJ
вписан в окружность.
Вписанные в эту окружность углы JIC
и JDC
опираются на одну и ту же дугу, поэтому
\angle JIC=\angle JDC=\angle EDJ=\frac{1}{2}\left(\gamma+\frac{\alpha}{2}\right)=\angle JCI.
Следовательно, треугольник CIJ
равнобедренный.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 3, с. 65