17942. Дан треугольник ABC
, в котором \angle A\lt\angle B\leqslant\angle C
, а M
и N
— середины сторон CA
и AB
соответственно. Точки P
и Q
— проекции точек B
и C
на медианы CN
и BM
соответственно. Докажите, что четырёхугольник MNPQ
вписанный.
Указание. \angle NMQ=\angle CPQ
.
Решение. Из точек P
и Q
отрезок BC
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC
. Вписанные в эту окружность углы CPQ
и CBQ
опираются на одну и ту же дугу, поэтому они равны.
По теореме о средней линии треугольника MN\parallel BC
. Значит,
\angle NMQ=\angle NMB=\angle CBM=\angle CBQ=\angle CPQ=180^{\circ}-\angle NPQ.
Следовательно, четырёхугольник MNPQ
вписанный. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 1, с. 71