17948. Дана окружность \Gamma
с центром O
и диаметром AE
. Точка D
лежит на отрезке OE
, а точка B
— середина одной из дуг AE
окружности \Gamma
. Точка C
— вершина параллелограмма ABCD
. Прямые BE
и CD
пересекаются в точке F
. Прямая OF
пересекает меньшую дугу BE
в точке I
. Докажите, что EI
— биссектриса угла BEC
.
Решение. Из параллельности CD
и AB
следует, что
\angle CDE=\angle BAO=45^{\circ},
а из параллельности BC
и AE
—
\angle CBE=\angle BEO=45^{\circ}.
Значит, четырёхугольник BCED
вписанный, поэтому \angle BEC=\angle BDC
.
С другой стороны, по теореме о внешнем угле треугольника
\angle DFB=\angle DEF+\angle FDE=45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}=\angle DOB,
поэтому четырёхугольник BFDO
вписанный. Значит,
\angle BDC=\angle BDF=\angle BOF=\angle BOI.
Центральный угол BOI
окружности \Gamma
вдвое больше вписанного угла BEI
, поэтому
\angle BEC=\angle BDC=\angle BDF=\angle BOI=2\angle BEI.
Следовательно, EI
— биссектриса угла BEC
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2014, задача 1, с. 108