1795. Дан выпуклый n
-угольник, все углы которого тупые. Докажите, что сумма его диагоналей больше периметра.
Решение. Пусть A
, B
и C
— произвольные последовательные вершины такого многоугольника. Тогда диагональ AC
— сторона треугольника ABC
, лежащая против тупого угла, значит, AC\gt AB
. Таким образом, каждой стороне многоугольника соответствует диагональ, большая этой стороны, причём, разным сторонам соответствуют разные диагонали. Тогда сумма только этих диагоналей больше периметра многоугольника.