17951. Точка D
лежит на стороне BC
треугольника ABC
. Касательная к описанной окружности треугольника ABD
в точке D
пересекает сторону AC
в точке E
. Касательная к описанной окружности треугольника ACD
в точке D
пересекает сторону AB
в точке F
. Докажите, что точка A
и центры описанных окружностей треугольников ABC
и DEF
лежат на одной прямой.
Указание. Примените теорему об угле между касательной и хордой. Докажите, что \angle FAO'=\angle BAO
, где O
и O'
— центры описанных окружностей треугольников ABC
и AFE
.
Решение. Обозначим углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
через \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно. По теореме об угле между касательной и хордой
\angle EDA=\angle DBA=\beta~\mbox{и}~\angle ADF=\angle ACD=\gamma.
Тогда
\angle EDF+\angle ADF+\angle BA=\gamma+\beta+\alpha=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник AFDE
вписанный, а его описанная окружность совпадает с описанной окружностью треугольника DEF
. Тогда
\angle EFA=\angle EDA=\beta,~\mbox{и}~\angle AEF=\angle ADF=\gamma.
Следовательно, EF\parallel BC
.
Пусть O
и O'
— центры описанных окружностей треугольников ABC
и AFE
. Из равнобедренных треугольников AO'F
и AOB
получаем
\angle FAO'=90^{\circ}-\angle AEF=90^{\circ}-\gamma=\angle BAO.
Следовательно, точки A
, O'
и O
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2015, задача 1, с. 51