17954. Дан треугольник ABC
, в котором AB\lt AC
, AD
— высота, M
— середина стороны BC
, а точка B'
симметрична вершине B
относительно точки D
. Прямая, проведённая через точку B'
перпендикулярно BC
, пересекает сторону AC
в точке P
. Докажите, что если BP
и AM
перпендикулярны, то треугольник ABC
прямоугольный.
Указание. Точка пересечения BP
и AD
— ортоцентр треугольника ABM
.
Решение. Поскольку AD\perp BM
и AP\perp AM
, точка E
пересечения BP
и AD
— ортоцентр треугольника ABM
. Значит, ME\perp AB
.
Поскольку D
— середина BB'
и B'P\parallel AE
, то E
— середина отрезка BP
, а так как M
— середина BC
, то EM
— средняя линия треугольника ADC
. Значит, EM\parallel AC
, а так как ME\perp AB
, то AC\perp AB
. Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2015, задача 3, с. 69