17957. Около неравнобедренного треугольника ABC
описана окружность \Omega
с центром O
, а BE
и CF
— биссектрисы этого треугольника, I
— точка их пересечения. Лучи BE
и CF
пересекают окружность \Omega
в точках M
и N
соответственно. Прямая d_{1}
, проведённая через точку M
перпендикулярно BM
, вторично пересекает окружность \Omega
в точке P
, а прямая d_{2}
, проведённая через точку N
перпендикулярно CM
, вторично пересекает окружность \Omega
в точке Q
. Точки H
и K
— середины отрезков MP
и NQ
соответственно. Докажите, что треугольники IEF
и OKH
подобны.
Решение. Пусть углы треугольника ABC
при вершинах A
, B
и C
равны \alpha
, \beta
и \gamma
соответственно, а радиусы окружности \Omega
и вписанной окружности треугольника ABC
равны R
и r
соответственно. Пусть X
и Y
— проекции точки I
на прямые AC
и AB
соответственно.
Точки B
, O
и P
лежат на одной прямой, так как \angle BMP=90^{\circ}
, и тогда BP
— диаметр окружности \Omega
. Поскольку O
и H
— середины PB
и PM
, то по теореме о средней линии треугольника OH\parallel BM
и OH=\frac{1}{2}BM
. Аналогично, OK\parallel CN
и OK=\frac{1}{2}CN
. Следовательно, \angle HOK=\angle EIF
.
По теореме синусов
BM=2R\sin\angle BAM=2R\sin(\alpha+\frac{\beta}{2}),~CN=2R\sin\angle CAN=2R\sin(\alpha+\frac{\gamma}{2}),
поэтому
\frac{OH}{OK}=\frac{BM}{CN}=\frac{2R\sin(\alpha+\frac{\beta}{2})}{2R\sin(\alpha+\frac{\gamma}{2})}=\frac{\sin(\alpha+\frac{\beta}{2})}{\sin(\alpha+\frac{\gamma}{2})}.
В то же время, из прямоугольных треугольников IFY
и IEX
получаем
IF=\frac{IY}{\sin\angle BFC}=\frac{r}{\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)},~IE=\frac{IX}{\sin\angle BEC}=\frac{r}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)},
поэтому
\frac{IF}{IE}=\frac{\frac{r}{\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)}}{\frac{r}{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}}=\frac{\sin\left(\alpha+\frac{\beta}{2}\right)}{\sin\left(\alpha+\frac{\gamma}{2}\right)}=\frac{OH}{OK}.
Следовательно, треугольники IEF
и OKH
подобны по двум сторонам и углу между ними.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2016, задача 2 (фрагмент), с. 18