17958. Окружности \Omega_{1}
и \Omega_{2}
пересекаются в точках A
и B
. Касательные к окружности \Omega_{1}
, проведённые через точки A
и B
, пересекаются в точке O
. На окружности \Omega_{1}
отмечена точка I
, лежащая вне окружности \Omega_{2}
. Прямые IA
и IB
пересекают окружность \Omega_{2}
в точках C
и D
а M
— середина CD
. Докажите, что точки I
, M
и O
лежат на одной прямой.
Указание. Если N
— середина AB
, то лучи IN
и IM
изогонально сопряжены относительно угла CID
, а IO
— симедиана треугольника AIB
(см. задачу 10449).
Решение. Пусть точка A
лежит на прямой IC
. Отметим середину N
отрезка AB
. Четырёхугольник ABDC
вписанный, поэтому
\angle IAB=180^{\circ}-\angle BAC=\angle BDC.
Значит, треугольники AIB
и DIC
с общим углом при вершине I
подобны. При этом медиана IN
треугольника AIB
соответствует медиане IM
треугольника DIC
, поэтому \angle BIN=\angle CIM
. Значит, лучи IN
и IM
изогонально сопряжены относительно угла CID
.
В то же время, поскольку O
— точка пересечения касательных к \Omega_{1}
, проведённых к ней в точках A
и B
, то IO
— симедиана треугольника AIB
(см. задачу 10449). Следовательно, точки I
, M
и O
лежат на одной прямой. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2016, задача 2, с. 39