1796. Биссектриса треугольника делит его сторону на два отрезка. Докажите, что к большей из двух других сторон треугольника примыкает больший из них.
Указание. Пусть BD
— биссектриса треугольника ABC
и AB\gt BC
. Отложите на стороне AB
отрезок BC_{1}
, равный BC
.
Решение. Пусть BD
— биссектриса треугольника ABC
и AB\gt BC
. Рассмотрим точку C_{1}
, симметричную вершине C
относительно биссектрисы угла B
. Тогда CD=C_{1}D
. Поскольку BC_{1}=BC\lt AB
, то точка C_{1}
лежит на отрезке AB
, а AC_{1}D
— внешний угол треугольника BDC_{1}
, поэтому
\angle AC_{1}D\gt\angle BDC_{1}=\angle BDC\gt\angle A.
Следовательно, CD=C_{1}D\lt AD
.
Примечание. Утверждение задачи можно легко вывести из свойства биссектрисы треугольника: биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.