17962. Дан выпуклый шестиугольник ABCDEF
, в котором AB=CD=EF
, BC=DE=FA
и \angle A+\angle B=\angle C+\angle D=\angle E+\angle F
. Докажите, что все углы шестиугольника равны.
Решение. Пусть прямые FA
и BC
пересекаются в точке M
, прямые BC
и DE
— в точке N
, а прямые FA
и DE
— в точке P
. Сумма углов шестиугольника равна 180^{\circ}(6-2)=720^{\circ}
, поэтому
\angle A+\angle B=\angle C+\angle D=\angle E+\angle F=\frac{1}{3}\cdot720^{\circ}=240^{\circ}.
Тогда углы треугольника MNP
равны 60^{\circ}
, т. е. треугольник MNP
равносторонний.
Построим равносторонний треугольник DEO
с вершиной O
внутри данного шестиугольника. Тогда
\angle OED=60^{\circ}=\angle APD,
поэтому AF\parallel OE
. Кроме того, по условию задачи AF=OE
, поэтому EOAF
— параллелограмм. Аналогично, DOBC
— параллелограмм. Значит,
\angle AFE+\angle BCD=\angle AOE+\angle BOD=360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=240^{\circ},
а так как
\angle EDC+\angle BCD=240^{\circ},
то \angle AFE=\angle EDC
. Аналогично,
\angle BAF=\angle FED=\angle EDC~\Rightarrow~\angle ABC=\angle BCD.
Итак,
\angle A+\angle B=\angle C+\angle D=\angle E+\angle F
и
\angle A=\angle B=\angle C=\angle D=\angle E=\angle F=120^{\circ}.
Отсюда следует утверждение задачи.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2016, задача 2, с. 101