17965. Дан остроугольный неравнобедренный треугольник ABC
, вписанный в окружность \Omega
с центром O
. Его медианы пересекаются в точке G
, а I
— середина высоты AH
. Прямая IG
пересекает сторону BC
в точке K
.
а) Докажите, что CK=AH
.
б) Луч GH
пересекает окружность \Omega
в точке L
, а T
— центр описанной окружности треугольника BHL
. Докажите, что прямые AO
и BT
пересекаются на окружности \Omega
.
Решение. а) Пусть M
— середина стороны BC
. Точка G
лежит на медиане AM
, причём \frac{AG}{AM}=\frac{2}{3}
. На стороне BC
отметим точку K'
, для которой M
— середина K'
. Тогда AM
— медиана треугольника AHK'
, а G
— точка пересечения медиан этого треугольника.
Точка G
лежит на медиане K'I
треугольника AHK'
, поэтому точка K'
совпадает с K
. Следовательно,
BH=BM-HM=CM-KM=CM-K'M=CK'=CK.
Что и требовалось доказать.
б) Через вершину A
проведём прямую, параллельную стороне BC
. Пусть эта прямая вторично пересекает окружность \Omega
в точке E
. Из симметрии относительно серединного перпендикуляра к отрезку BC
следует, что AHKE
— прямоугольник, а так как \frac{GA}{GM}=\frac{AE}{HM}=2
, то прямая EH
пересекает AM
в точке G
. Значит, точки H
, G
, E
и L
лежат на одной прямой.
Пусть N
— точка, лежащая на меньшей дуге окружности \Omega
, равноудалённая от вершин B
и C
. Поскольку
\angle BLH=\angle BLE=\angle BCE=\angle ABC,
получаем
\angle ABT=\angle ABC+\angle CBT=\angle BCE+\angle CBT=\frac{1}{2}\smile EAB+\frac{1}{2}\smile NC=
=\frac{1}{2}(\smile EAB+\smile CN)=\frac{1}{2}(\smile BAE+\smile NB)=\frac{1}{2}\smile NBA=\frac{1}{2}\cdot180^{\circ}=90^{\circ}.
Значит, если D
— точка пересечения луча BT
с окружностью \Omega
, то AD
— диаметр окружности. Следовательно, прямые AO
и BT
пересекаются на окружности \Omega
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2017, задача 4, с. 25