17969. Около квадрата ABCD
описана окружность \Omega
с центром O
. Точка P
лежит на её меньшей дуге CD
. Прямая PB
пересекает диагональ AC
в точке E
. Прямая PA
пересекает диагональ BD
в точке F
. Описанная окружность \omega
треугольника PEF
вторично пересекает окружности \Omega
в точке Q
. Докажите, что PQ\parallel CD
.
Решение. Пусть K
— центр окружности \omega
. Заметим, что
\angle APB=\angle ADB=45^{\circ},~\angle EKF=2\angle FPE=2\angle APB=90^{\circ},
а так как KE=KF
как радиусы окружности \omega
, то треугольник KEF
прямоугольный и равнобедренный.
Из точек O
и K
отрезок EF
виден под прямым углом, поэтому четырёхугольник ABCD
вписан в окружность с диаметром EF
. Тогда
\angle GOK=\angle FEK=45^{\circ}=\frac{1}{2}\angle COD,
т. е. луч OK
— биссектриса угла COD
равнобедренного прямоугольного треугольника DOC
. Значит, прямая OK
— серединный перпендикуляр к отрезку CD
, а так как KQ=KP
и OP=OQ
, то оба отрезка CD
и PQ
перпендикулярны одной и то же прямой OK
. Следовательно, PQ\parallel CD
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2018, задача 2, с. 33