1797. BD
— биссектриса треугольника ABC
, причём AD\gt CD
. Докажите, что AB\gt BC
.
Решение. Предположим, что это не так. Если AB=BC
, то по свойству равнобедренного треугольника AD=CD
, что противоречит условию.
Пусть AB\lt BC
. Рассмотрим точку A_{1}
, симметричную вершине A
относительно биссектрисы угла B
. Тогда AD=A_{1}D
. Поскольку BA_{1}=AB\lt BC
, точка A_{1}
лежит на отрезке BC
, а CA_{1}D
— внешний угол треугольника BDA_{1}
, поэтому
\angle CA_{1}D\gt\angle BDA_{1}=\angle BDA\gt\angle C.
Значит, AD=A_{1}D\lt CD
, что также противоречит условию. Следовательно, AB\gt BC
.