17970. Четырёхугольник ABCD
, в котором DB=DA+DC
, вписан в окружность \Omega
. Точка P
лежит на луче AC
, причём AP=BC
. Точка E
лежит на окружности \Omega
, причём BE\perp AD
. Докажите, что прямая DP
параллельна биссектрисе угла BEC
.
Указание. На диагонали DB
отложите отрезок DQ=DC
и докажите равенство треугольников CQB
и PDA
Решение. Пусть R
и F
— точки пересечения прямой AC
с прямой BE
и биссектрисой угла BEC
соответственно, а точка Q
лежит на диагонали BD
, причём DQ=DC
. Тогда
QB=DB-DQ=DB-DC=AD.
Поскольку
BQ=AD,~BC=AP,~\angle CBQ=\angle CBD=\angle PAD,
треугольники CQB
и PDA
равны по двум сторонам и углу между ними. Кроме того, из условия BE\perp AD
и равнобедренности треугольника CDQ
получаем
\angle CAD+\angle AFE=90^{\circ}~\mbox{и}~\angle CQD=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle QDC=90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BDC.
Тогда
\angle APD=\angle BCQ=\angle CQD-\angle CBD=\left(90^{\circ}-\frac{1}{2}\angle BDC\right)-\angle CAD=
=(90^{\circ}-\angle CAD)-\frac{1}{2}\angle BEC=\angle AFE-\angle FER=\angle ARE.
Следовательно, DP\parallel ER
. Что и требовалось доказать.
Источник: Математические олимпиады Саудовской Аравии. — 2018, задача 3, с. 37